陆俊宇， 李 钰
（华东理工大学信息科学与工程学院, 上海 200237）
高斯最小频移键控（GMSK）是调制指数为1/2 和频率脉冲为高斯脉冲的连续相位调制（Continuous Phase Modulation，CPM）信号，具有包络恒定、相位连续的特性，适用于功率和频带资源有限的通信场景[1-3]。GMSK 信号相干解调的前提是要求接收机能够产生和接收信号同频、同相的载波，但在许多具有高动态相对运动的通信环境中，如卫星、飞机、列车等，由相对运动引起的多普勒频移将会在接收机下变频所得的基带信号中引入残留载波频偏，致使基带信号的相位轨迹发生偏离，最终造成解调误码[4-5]。因此，精确的载波同步是解调前的重要一环。载波同步的目的是从接收信号中提取载波参数，之后根据提取的参数值对接收信号进行修正。载波参数的捕获算法主要分为闭环和开环两种。闭环算法一般基于锁相环（PLL）结构，具有较高的跟踪精度，缺点是捕获速率慢、收敛时间长，不适合突发信号载波参数的捕获。开环载波参数捕获算法不需要反馈误差信息，可直接根据接收信号的特征来提取载波参数。开环算法又分为数据辅助（Data-Aided，DA）[6-7]和非数据辅助（Non-Data-Aided，NDA）[8-9]。DA 开环算法采用了添加前导序列的方法来估计载波参数，具有捕获精度高、抗噪性能好的优点，但缺点是添加的前导序列需要占用额外的带宽；
NDA 开环算法不需要添加先验信息，能保持较高的频谱利用率，但是在低信噪比下的载波参数捕获精度较低。
本文在短时突发通信[10]的应用背景下，采用了DA 开环载波参数提取算法，引用了文献[11]提出的最优前导序列结构和克拉美罗界（CRB），在H&P（Hosseini & Perrins）算法[12]的基础上，通过对快速傅里叶变换（FFT）所得频谱进行一维搜索来估计载波频偏值。受限于栅栏效应，仅通过FFT 后直接扫频的方法只能估计整数倍频偏，存在较大的估计误差[13-14]。为了进一步提高频偏估计的精度，本文提出了一种基于Farrow 结构的立方插值细搜索算法。在FFT 有限补零的条件下，通过粗搜索确定细搜索范围，使用立方Farrow 插值结构计算细搜范围内的小数倍频点的插值谱线，以逼近真实的频偏谱线。通过仿真验证，本文所提出的基于Farrow 结构的立方插值细搜算法能在H&P 算法的基础上进一步提高载波频偏的估计精度，具有良好的估计性能和工程应用价值。
频偏估计的实现框架如图1 所示。框架主要由H&P 算法和插值细搜（IDS）算法构成，其基本的设计思路是在H&P 算法的基础上引入本文提出的插值细搜算法以获得更高精度的载波频偏估计值。在H&P 算法部分，将含有前导序列部分的基带数字信号输入预处理模块（Pre），得到2 路预处理的输出信号并分别送入2 个FFT 模块，计算这2 路预处理信号的频谱序列，依次取模（Abs）、相加得到2 路预处理信号的幅度谱序列。之后将该幅度谱序列进行分流，一路送入IDS 算法部分，另一路送入H&P 算法部分的Max 模块进行扫频找到粗搜索的最高谱线。在IDS 算法部分，插值模块根据输入幅度谱序列确定细搜区域，然后在细搜区域内进行固定倍数的插值，再经由Max 模块扫频得到最高插值谱线，最后将粗搜索最高谱线和插值最高谱线进行比较，选最高谱线所对应的频点作为载波频偏的估计值。
图1 频偏估计的实现框架Fig.1 Implementation framework of frequency offset estimation
H&P 算法是面向短时突发通信场景提出的载波频偏、载波相偏、定时偏差联合同步算法，由于信号的持续时间较短，在接收机已经知道基带信号中前导序列位置的条件下，可以假设在前导序列持续时间内接收基带信号所携带的载波频偏为固定常数[15]。在加性高斯白噪声（Additive White Gaussian Noise，AWGN）信道条件下，GMSK 接收信号经过下变频后的复基带接收信号[16]可以表示为
式中Es为码元能量；
T为码元周期；
w(t) 为复基带高斯白噪；
误差参数有载波频偏fd、载波相偏 θ 、定时偏差 ε ；
φ 为携带码元信息的信号相位，其表达式为
其中，调制指数h=1/2 ；
前导序列 α={αk} ，k=0,1,···,L0−1，L0为序列的码元个数。最优前导序列的结构如图2 所示，序列主要分为3 段，前L0/4个码元和后L0/4的码元取值为−1，中L0间/2个码元取值为1。q(t)为相位响应，是频率脉g冲(t)的积分形式，即
图2 最优前导序列结构Fig.2 Optimal leading sequence structure
式中，L为关联长度；
Bb为3 分贝（Decibel，dB）带宽。
随即，接收机可通过对前导序列持续时间内的基带信号r(t;α) 进行傅里叶变换，扫描整个频谱找到最高谱线，并以最高谱线所对应的频点作为载波频偏的估计值。最后，将频偏估计值代入相应的闭合表达式，依次求出定时偏差、载波相偏。H&P 算法的载波频偏、定时偏差、载波相偏的估计式依次为
其中，
式中T0表示前导序列的持续时间。
因为定时偏差和载波相偏是通过将载波频偏估计值分别代入它们的闭合表达式求取的，其估计精度同样受到载波频偏估计精度的影响，所以本文的关注重点在于如何在数字接收机系统中进一步提高载波频偏的估计精度。在数字接收机系统中，GMSK 接收信号需要经下变频、模数转换后变为数字基带信号序列r(n;α) 。式（9）和（10）为连续傅里叶变换的形式，与之对应的是数字信号的离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），在变换之前可先对数字序列拆分后进行补零处理，DFT 的输入信号为
其中，N为每个码元的样本点数，P为补零倍数，表示补零后的序列长度为之前的P倍，则序列r1(n;α)和r2(n;α) 的DFT 形式写作
实际上可以使用更高效的FFT 来实现DFT 的计算。取 λ1(k) 与 λ2(k) 的模并相加得离散谱线
式中，谱线相邻频点间隔 Δf=fs/(PNL0)，fs为采样频率。记最高谱线的频率索引为km，则归一化频偏估计值为vd=kmΔf/fs。
3.1 细搜算法的基本原理
图3 为细搜算法的流程图，算法的工作流程为：
图3 细搜算法的流程Fig.3 Flow chart of the detailed search algorithm
(1) 系统对补零后的序列r1(n;α) 与r2(n;α) 进行FFT，然后分别取模，相加得到粗搜索谱线X(k) ；
(2) 对谱线进行第一次的扫频，即粗搜索，找到最高谱线及其两侧的次高谱线，记最高谱线的频率索引为km，次高谱线的索引为km−1 、km+1 ；
(3) 以次高谱线之间的频率范围作为细搜索范围，分别在索引区间 [km−1,km] 和 [km,km+1] 进行一定倍数的插值，由此在2 个离散整数频点之间得到小数倍频点的插值谱线；
(4) 在插值谱线中搜索最高谱线，即细搜索，并比较最高插值谱线和谱线X(km) 之间的大小，在两者中取幅值最大谱线所对应的频点作为频偏估计值。
3.2 立方插值滤波器的Farrow 结构
Farrow 结构是多项式插值算法的数字化实现，有助于插值算法的工程应用[17]。插值滤波器可实现小数倍插值，其基本原理可概括为先将数字信号重构为模拟信号，然后重采样。文献[18]给出了重采样后的插值公式，根据插值细搜算法的设计要求将公式重新表达为
式中，Ti表示插值间隔；
j=0,···,I−1，I为插值倍数；
kb表示插值基点；
µb,j表示以kb为起始点的第j个小数间隔，即 µb,j=jΔµ ，小数间隔 Δµ∈(0,1) ；
Ts表示采样周期；
i为滤波器索引，取值为I1到I2之间的整数，其取值范围决定了计算插值所需的输入样本数为I2−I1+1 ；
h(t) 为插值滤波器的有限阶脉冲响应，可采用关于 µb,j的多项式逼近[19]，即
其中，M为滤波器抽头数，bl(i) 是独立于 µb,j的加权系数。将式（17）等号右侧表示为插值多项式的拉格朗日形式，有
插值计算公式可重写为
对于4 点立方插值滤波器[18]，设置I1= −M/2 ，I2=M/2−1，M取=4代入式（18）得三次多项式方程组
将式（20）代入（19）得立方插值计算表达式
由此绘制出立方插值的Farrow 结构，如图4 所示。关于 µb,j的小数倍插值的计算复杂度，主要体现在延时次数、缩放因子数、加法次数、乘法次数这4 个方面。立方插值的Farrow 结构共有4 列，每列计算是并行执行的，前3 列计算需要延时3 个Ts，第4 列延时2 个Ts后等待前面几列计算完成。小数间隔µb,j首先需要等待3 个Ts后才能和第1 列的计算结果相乘，之后 µb,j还需要再做2 次乘法和3 次加法，共6 次计算，后级计算需要等待前级计算输出结果后才能执行，等待的时间为Ts，故计算完1 次 µb,j的小数倍插值需要的延时数为8。立方插值Farrow 结构的每列都相当于1 个FIR 滤波器，并且它们拥有公共的抽头系数1/6、1/3、1/2，因此缩放因子数为3，它们可存入查找表中待需要时再提取，不用重新计算。此外，通过直接观察Farrow 结构图，可知完成1 次插值需要的加法次数为11，乘法次数为3。总之，计算1 次关于 µb,j的小数倍插值需要8 次延时、3 类缩放因子、11 次加法、3 次乘法，计算复杂度低，易于工程实现。
图4 立方插值的Farrow 结构Fig.4 Farrow structure for cubic interpolation
3.3 小数倍频插值的基本原理
小数倍频插值如图5 所示，根据立方插值的Farrow 结构，插值计算的所需样点集为{X(kb−1) ，X(kb)，X(，kb+}1)，X(kb所+2)以可将索引j从零开始依次加一递增，取个I−1µb,j，采用立方Farrow 结构依次计算2 个离散频点kb和kb+1之间的小数倍频点的插值谱线。结合插值细搜示意图（图6），进一步给出基于立方Farrow 结构的IDS 算法实现小数倍频插值并估计载波频偏的具体步骤：
图5 小数倍频插值示意图Fig.5 Schematic diagram of decimal frequency interpolation
图6 插值细搜示意图Fig.6 Schematic diagram of interpolation detailed search
(1) 对FFT 所得谱线X(k) 进行第1 次扫频，通过初步的粗搜索，找到最高谱线X(km) 以及两侧的次高谱线X(km−1)和X(km+1) 。
(2) 以次高谱线的频率索引km−1 作为第1 个插值基频点，则k=km−1 ，可以取b=1，将第1 个插值基点记为k，其小数间隔表示为 µ1,j。对于立方Farrow 插值，取离散值X(k1−1)、X(k1)、X(k1+1) 、X(k1+2)，在索引区间k1[−1，k1]依次计I−算1个小数倍频率索引，k1+，µ1,1，k1+·µ1,2·k1+·µ1,3，k1+µ1,I−1处的y(k1插+µ1,1)值y(k1+µ，1,2)y(k，1+µ1,3)，...，。
(3) 以最高谱线的频率索引km作为第2 个插值基频点，则k=km，可以取b=2 ，并将第2 个插值基点记为k2，其小数间隔表示为u2,j。取离散值X(k2−1) ，X(k2)，X(，k2+，1)在X(k2索+2)引区间[k2k，2+1]之间依次计算个I−1小数倍频率索k2+引µ2,1、k2+µ2,2，k2，+µ2,3··k2+·µ2,I−，1处的y插(k2+值µ2,1)，y(k2+µ2,2)，y(k，2+µ2·,3)·y(k·2+µ，2,I−1)。
(4) 留下区域[k1+µ1,1，···，k1+µ1,I−1，k2+µ2,1，···，k2+µ2,I−1]作为细搜区间，然后进行第2 次扫频，通过细搜索确定最高插值谱线。细搜的结果存在2 种情况：若插值y(kb+µb,j) 大于X(km) ，则留下kb+µb,j作为频偏估计的索引，频偏的估计值为(kb+µb,j)Δf；
若X大(km于)任何一个插值，则留下km作为频偏估计的索引，频偏估计值为kmΔf。
使用Matlab 仿真工具验证本文提出的基于立方Farrow 结构的IDS 算法，仿真的参数设置如表1所示。仿真给出了采用了分段抛物线Farrow 结构[18]、立方Farrow 结构的IDS 算法的频偏估计均方差曲线；
同时，还和文献[12]中使用的高斯插值算法进行了对比，分析它们之间的频偏估计性能；
然后，分析了基于立方Farrow 结构的IDS 算法的插值倍数I和频偏估计精度之间的关系；
最后，通过观察频偏修正后的星座图的相位分布进一步验证基于立方Farrow结构的IDS 算法的效果。
表1 仿真参数设置Table 1 Simulation parameter setting
不同插值方法和不同补零倍数对载波频偏估计精度的影响如图7 所示。在无差值条件下的补零倍数（P）依次设置为1、2、4。通过观察发现，增大补零倍数有助于提高频偏的估计精度，但是仅通过补零的方式只能给估计精度带来较少的信噪比增益。在P=4 的条件下引入IDS 算法，I=32 ：采用了分段抛物线 IDS 算法后，频偏估计精度获得了明显的信噪比增益，均方差曲线随信噪比的增大而下降，但是下降幅度却逐渐减小，9 dB 后趋于平稳；
不同于分段抛物线插值算法，立方IDS 算法表现出了逼近CRB 的频偏估计性能，相比高斯插值算法，频偏估计性能仅损失约0.7 dB 的增益。
图7 补零和插值对频偏估计精度的影响Fig.7 Effect of zero padding and interpolation on the accuracy of frequency offset estimation
图8 给出了基于立方Farrow 结构的IDS 算法在不同插值倍数下的频偏估计均方差，P=4，I由小到大依次取2、4、8、16、32。如图8 所示，频偏估计精度随插值倍数的增大而增大，频偏估计精度在插值倍数2 到4 之间有显著提升，此后增大插值倍数对于频偏估计精度的提升作用越来越小，16 倍插值之后的提升开始接近极限。表2 示出了16 倍和32 倍插值条件下本文所提算法的频偏估计均方差的仿真值，两者的频偏估计性能非常相近，与CRB 相比，精度损失约1.2 dB。因此，实际工程中的插值倍数可取16，有助于进一步减少插值倍数所带来的计算量。
表2 频偏估计均方差Table 2 Mean square error (MSE) of frequency offset estimates
图8 不同插值倍数对频偏估计精度的影响Fig.8 Effect of different interpolation multiples on the accuracy of frequency offset estimation
在16 倍插值条件下，采用基于立方Farrow 结构的IDS 算法对基带信号进行频偏补偿。图9 给出了GMSK 基带信号频偏补偿前后的相位星座分布，仿真的信噪比为30 dB，频偏分布 (fd) 为 0.1%fs， 1%fs。在图中，红圈为理论相位分布点，蓝圈为实际的信号相位分布。通过观察发现，频偏补偿前的信号相位杂散分布，同时沿单位圆发生旋转，偏离理论分布点，而频偏补偿后的信号相位重新收敛于理论位置。由此可以得出，基于立方Farrow 结构的IDS算法估计的载波频偏值能够有效地纠正GMSK 基带信号的相位轨迹。
图9 基带信号频偏补偿前后的相位星座图Fig.9 Phase constellation before and after frequency offset compensation of baseband signal
在GMSK 信号的载波同步问题上，为了进一步提高H&P 算法的载波频偏估计精度，本文提出了一种基于立方Farrow 结构的插值细搜算法，在FFT 粗搜索的基础上进一步地细搜索，使用立方Farrow插值结构在由FFT 粗搜索所确定的细搜区域内进行小数倍频的插值，确定最高插值谱线，并将其和粗搜索的最高谱线进行比较，取幅值最高谱线的频点作为载波频偏的估计值。通过MATLAB 仿真，在前导序列长度为64 的条件下，首先分析了基于立方Farrow结构的插值细搜算法的频偏估计性能，然后分析了频偏估计性能和插值倍数的关系，最后再观察频偏修正后的相位星座收敛情况。仿真结果表明，本文所提出的基于立方Farrow 结构的插值细搜算法能够在H&P 算法的基础上有效提升频偏估计精度，在插值倍数为16 的时候具有逼近克拉美罗界的频偏估计性能，信噪比估计损失仅为1.2 dB，具有良好的性能。
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